Tangente hyperbolique réciproque
La tangente hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique. C'est la réciproque de la fonction tangente hyperbolique.
Définition
[modifier | modifier le code]La fonction tangente hyperbolique réciproque, ou argument tangente hyperbolique[1], notée artanh[2] (ou argth), est définie à l'aide de la tangente hyperbolique par : .
Propriétés
[modifier | modifier le code]Cette fonction est bijective, impaire et son image est . Elle est continue, strictement croissante, concave sur et convexe sur .
Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en 1 est +∞.
Elle est dérivable sur et sa dérivée est donnée par .
Par conséquent[3], la fonction artanh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par[4] .
Tangente hyperbolique réciproque complexe : Voir à Détermination_d'une_fonction_multivaluée#Argument_tangente_hyperbolique_complexe.
Lien externe
[modifier | modifier le code](en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Tangent », sur MathWorld
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Daniel Guinin et Bernard Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 26.
- Notation recommandée par la norme ISO/CEI 80000-2.
- Pour une preuve plus directe, voir par exemple .
- Xavier Oudot et Marie Delye-Chevalier, HPrépa Maths : Analyse - 1e année MPSI, Hachette supérieure, , p. 135